Analysis Beispiele

$(\frac{2}{3}, - \frac{2 π}{3})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = \frac{2}{3}$ und $θ = - \frac{2 π}{3}$ in die Formeln ein.

$x = (\frac{2}{3}) \cos (- \frac{2 π}{3})$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 3

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$x = \frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{4 π}{3})$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (\frac{π}{3}))$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 1}{2}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- 1}{2}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3} \cdot - 1$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

$x = \frac{1}{3} \cdot - 1$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = (\frac{2}{3}) \sin (- \frac{2 π}{3})$

Schritt 9

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot \sin (\frac{4 π}{3})$

Schritt 10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3})$

$x = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$x = - \frac{1}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 14

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(\frac{2}{3}, - \frac{2 π}{3})$ ist $(- \frac{1}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3})$