Analysis Beispiele

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

Schritt 3.8

Addiere $8 x$ und $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $16$ mit $- 12$ .

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 192$ .

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

Schritt 4.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 192$ mit $- 3$ .

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

Schritt 5

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 768$ mit $1$ .

$- 768 + 576 (1) + 6$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $576$ mit $1$ .

$- 768 + 576 + 6$

Schritt 6.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.1

Addiere $- 768$ und $576$ .

$- 192 + 6$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 192$ und $6$ .

$- 186$