Analysis Beispiele

${(3 k - 1)}^{2} = - 125$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$3 k - 1 = \pm \sqrt{- 125}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 125}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $- 125$ als $- 1 (125)$ um.

$3 k - 1 = \pm \sqrt{- 1 (125)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (125)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{125}$ um.

$3 k - 1 = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{125}$

Schritt 2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$3 k - 1 = \pm i \cdot \sqrt{125}$

Schritt 2.4

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$3 k - 1 = \pm i \cdot \sqrt{25 (5)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 k - 1 = \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 5}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 k - 1 = \pm i \cdot (5 \sqrt{5})$

Schritt 2.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$3 k - 1 = \pm 5 i \sqrt{5}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 k - 1 = 5 i \sqrt{5}$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 k = 5 i \sqrt{5} + 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 k = 5 i \sqrt{5} + 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 k = 5 i \sqrt{5} + 1$ durch $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 k}{3} = \frac{5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 k - 1 = - 5 i \sqrt{5}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 k = - 5 i \sqrt{5} + 1$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $3 k = - 5 i \sqrt{5} + 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 k = - 5 i \sqrt{5} + 1$ durch $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{- 5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 k}{3} = \frac{- 5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- 5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = \frac{5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}, - \frac{5 i \sqrt{5}}{3} + \frac{1}{3}$