Analysis Beispiele

$12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t)$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $12 e^{- t}$ aus $12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t)$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $12 e^{- t}$ aus $12 e^{- t} \cos (t)$ heraus.

$12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t) = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $12 e^{- t}$ aus $- 12 e^{- t} \sin (t)$ heraus.

$12 e^{- t} \cos (t) + 12 e^{- t} (- 1 \sin (t)) = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $12 e^{- t}$ aus $12 e^{- t} \cos (t) + 12 e^{- t} (- 1 \sin (t))$ heraus.

$12 e^{- t} (\cos (t) - 1 \sin (t)) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $- 1 \sin (t)$ als $- \sin (t)$ um.

$12 e^{- t} (\cos (t) - \sin (t)) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- t} = 0$

$\cos (t) - \sin (t) = 0$

Schritt 3

Setze $e^{- t}$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $e^{- t}$ gleich $0$ .

$e^{- t} = 0$

Schritt 3.2

Löse $e^{- t} = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

Schritt 3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- t} = 0$

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $\cos (t) - \sin (t)$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (t) - \sin (t)$ gleich $0$ .

$\cos (t) - \sin (t) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (t) - \sin (t) = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.3

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.4

Wandle von $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ nach $\tan (t)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (t) = \frac{0}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (t) = \frac{0}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.6

Separiere Brüche.

$1 - \tan (t) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$

Schritt 4.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$1 - \tan (t) = \frac{0}{1} \cdot \sec (t)$

Schritt 4.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (t) = 0 \sec (t)$

Schritt 4.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (t)$ .

$1 - \tan (t) = 0$

Schritt 4.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (t) = - 1$

Schritt 4.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (t) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (t) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.11.2.2

Dividiere $\tan (t)$ durch $1$ .

$\tan (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (t) = 1$

Schritt 4.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$t = \arctan (1)$

Schritt 4.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$t = π + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.15

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.2.15.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.15.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 4.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.15.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 4.2.15.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (t)$ .

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Schritt 4.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.17

Die Periode der Funktion $\tan (t)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 e^{- t} (\cos (t) - \sin (t)) = 0$ wahr machen.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$