Analysis Beispiele

$f'' (x) = x^{6} - 4 x^{4} + x + 1$

Schritt 1

Die Funktion $f' (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{6} d x + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Schritt 4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 \int x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x d x + \int d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{4 x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 11

Die Funktion $f'$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f' (x) = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 12

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 13

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{7} x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Schritt 14

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{7}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Schritt 16

Da $- \frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{4}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} \int x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Schritt 17

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Schritt 18

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Schritt 19

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int C d x$

Schritt 20

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int C d x$

Schritt 21

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + C x + C$

Schritt 22

Vereinfache.

$\frac{x^{8}}{56} - \frac{2 x^{6}}{15} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C x + C$

Schritt 23

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$

Schritt 24

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = \frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$