Analysis Beispiele

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $f' (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $30$ aus dem Integral.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 12$ aus dem Integral.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $- 12$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

Schritt 8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

Schritt 8.2.3.2.4

Dividiere $- 4 x^{3}$ durch $1$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Schritt 9

Die Funktion $f'$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Schritt 10

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Schritt 14

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Schritt 16

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

Schritt 17

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

Schritt 18

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Schritt 19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Schritt 19.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Schritt 19.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

Schritt 19.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

Schritt 20

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$