Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{9} x^{2}$ , $x = 5$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{2}}{9}$ an.

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{9^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{9^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{9^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{81}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{81}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{81}$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{1}{81} \cdot \int_{0}^{5} x^{4} d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{81}$ und $π$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \int_{0}^{5} x^{4} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{5}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5}$ bei $5$ und $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $5$ mit $5$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3125$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3125$ und $5$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $3125$ heraus.

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = \frac{π}{81} \cdot (\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.3.2.4

Dividiere $625$ durch $1$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 + 0 (\frac{1}{5}))$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot (625 + 0)$

Schritt 6.2.7

Addiere $625$ und $0$ .

$V = \frac{π}{81} \cdot 625$

Schritt 6.2.8

Kombiniere $\frac{π}{81}$ und $625$ .

$V = \frac{π \cdot 625}{81}$

Schritt 6.2.9

Bringe $625$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{625 π}{81}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{625 π}{81}$

Dezimalform:

$V = 24.24068405 \dots$

Schritt 8