Analysis Beispiele

$x = y^{2}$ , $x = 3 y$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (y)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ , wobei $f (y) = 3 y$ und $g (y) = y^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$V = 3^{2} y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$V = 9 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = 9 y^{2} - y^{4}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{3} 9 y^{2} d y + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Schritt 4

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$V = π (9 \int_{0}^{3} y^{2} d y + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (9 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{4} d y)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{3}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y^{5}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{3}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (9 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{3}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{y^{5}}{5}$ bei $3$ und $0$ .

$V = π (9 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$V = π (9 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (9 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.2.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$V = π (9 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (9 (9 - \frac{0}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (9 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (9 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (9 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (9 (9 - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (9 (9 - 0) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (9 (9 + 0) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.6

Addiere $9$ und $0$ .

$V = π (9 \cdot 9 - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$V = π (81 - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.8

Potenziere $3$ mit $5$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 9.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}))$

Schritt 9.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 9.2.3.10.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Schritt 9.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.10.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - 0))$

Schritt 9.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} + 0))$

Schritt 9.2.3.12

Addiere $\frac{243}{5}$ und $0$ .

$V = π (81 - \frac{243}{5})$

Schritt 9.2.3.13

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (81 \cdot \frac{5}{5} - \frac{243}{5})$

Schritt 9.2.3.14

Kombiniere $81$ und $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 5}{5} - \frac{243}{5})$

Schritt 9.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{81 \cdot 5 - 243}{5})$

Schritt 9.2.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.16.1

Mutltipliziere $81$ mit $5$ .

$V = π (\frac{405 - 243}{5})$

Schritt 9.2.3.16.2

Subtrahiere $243$ von $405$ .

$V = π (\frac{162}{5})$

Schritt 9.2.3.17

Kombiniere $π$ und $\frac{162}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 162}{5}$

Schritt 9.2.3.18

Bringe $162$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{162 π}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{162 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 101.78760197 \dots$

Schritt 11