Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{1}{e}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, e + y = 0$

Schritt 1.2.2.2

Da $x, e$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

$1$ Notiere die Primfaktoren jeder Zahl.

Schritt 1.2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.5

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1 + y = 0$

Schritt 1.2.2.6

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x = x$

Schritt 1.2.2.7

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x + y = 0$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{1}{e} x$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{e} = 1$ um.

$\frac{x}{e} = 1$

Schritt 1.2.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 1.2.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = e \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.2.1

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$x = e$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $e$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(e, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $e$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Schritt 3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ und $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Kombiniere $e$ und $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Schritt 3.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Schritt 3.6.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Schritt 3.6.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Schritt 3.6.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.1

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Schritt 3.7.1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Schritt 3.7.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Schritt 3.7.1.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Schritt 3.7.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{e}$ von $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Schritt 3.7.1.5

Multipliziere $- - \frac{1}{e}$ .

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Schritt 3.7.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Schritt 3.7.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Schritt 3.7.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $e$ und $e^{3}$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ von $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Schritt 5.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Schritt 5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Schritt 5.6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Schritt 5.7

Wende die Konstantenregel an.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Schritt 5.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.8.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.8.1.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $e^{3}$ und $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Schritt 5.8.1.2

Berechne $\frac{1}{e} x$ bei $e^{3}$ und $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.8.1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3}$ und $e$ .

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Schritt 5.8.1.3.2.1

Faktorisiere $e$ aus $e^{3}$ heraus.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.1.3.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3.2.2.4

Dividiere $e^{2}$ durch $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Schritt 5.8.1.3.3

Kombiniere $e$ und $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Schritt 5.8.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 5.8.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Schritt 5.8.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 5.8.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3

Vereinfache.

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Schritt 5.8.3.1

$e^{3}$ ist ungefähr $20.08553692$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.2

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3}$ und $e$ .

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Schritt 5.8.3.3.1

Faktorisiere $e$ aus $e^{3}$ heraus.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.3.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.3.2.4

Dividiere $e^{2}$ durch $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Schritt 5.8.3.8

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Schritt 6