Analysis Beispiele

$\sum_{1}^{3} \frac{1}{2} j (2 j^{2} + 3 j + 5)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot (j (2 j^{2}) + j (3 j) + j \cdot 5)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + j (3 j) + j \cdot 5)$

Schritt 1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + j \cdot 5)$

Schritt 1.2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $j$ mit $j^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1

Bewege $j^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $j^{2}$ mit $j$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Potenziere $j$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j^{1}) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Schritt 1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{2 + 1} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $j$ mit $j$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 (j \cdot j) + 5 \cdot j)$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $j$ mit $j$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 \cdot j)$

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 j)$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 j^{3}$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (j^{3})) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$j^{3} + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

Schritt 1.5.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (3 j^{2})$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3}{2} j^{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Schritt 1.5.2.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $j^{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

Schritt 1.5.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (5 j)$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5}{2} j$

Schritt 1.5.3.2

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $j$ .

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Schritt 1.6

Schreibe die Summe um.

$\sum_{j = 1}^{3} j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

Schritt 2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{2} + 5) (\frac{3^{2} {(3 + 1)}^{2}}{4})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Addiere $3$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{3^{2} \cdot 4^{2}}{4}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 4^{2}}{4}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 16}{4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{144}{4}$

Schritt 4.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) \frac{144}{4}$

Schritt 4.4

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) \frac{144}{4}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1 + 10}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Schritt 4.6.2

Addiere $1$ und $10$ .

$\frac{11}{2} \cdot \frac{144}{4}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $144$ heraus.

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 (72)}{4}$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{4}$

Schritt 4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$11 (\frac{72}{4})$

Schritt 4.8

Kombiniere $11$ und $\frac{72}{4}$ .

$\frac{11 \cdot 72}{4}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $11$ mit $72$ .

$\frac{792}{4}$

Schritt 4.9.2

Dividiere $792$ durch $4$ .

$198$