Analysis Beispiele

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Schritt 1.2

Löse $4 e^{x} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 e^{x} = 3$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 e^{x} = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 e^{x} = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 1.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 1.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\ln (\frac{3}{4})$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 4$ und $\ln (\frac{3}{4})$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 e^{x} - 3$ von $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Schritt 3.4

Multipliziere.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Schritt 3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Schritt 3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Schritt 3.7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Schritt 3.8

Wende die Konstantenregel an.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Schritt 3.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Berechne $e^{x}$ bei $\ln (\frac{3}{4})$ und $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Schritt 3.9.2

Berechne $3 x$ bei $\ln (\frac{3}{4})$ und $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Schritt 3.9.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Schritt 3.9.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.10.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.5

Multipliziere $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

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Schritt 3.10.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.1.5.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Schritt 3.10.2

Addiere $- 3$ und $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Schritt 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $\ln (\frac{3}{4})$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Integriere, um die Fläche zwischen $\ln (\frac{3}{4})$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4 e^{x} - 3$ von $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Schritt 5.1.4

Multipliziere.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Schritt 5.1.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Schritt 5.1.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Schritt 5.1.7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Schritt 5.1.8

Wende die Konstantenregel an.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Schritt 5.1.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.9.1

Berechne $e^{x}$ bei $3$ und $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Schritt 5.1.9.2

Berechne $3 x$ bei $3$ und $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.9.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.9.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.9.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10

Vereinfache.

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Schritt 5.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.10.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.10.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.1.10.2

Addiere $3$ und $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.2

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Schritt 5.3

Subtrahiere $0$ von $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Schritt 5.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Schritt 5.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Schritt 5.6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Schritt 5.7

Wende die Konstantenregel an.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Schritt 5.8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Berechne $e^{x}$ bei $3$ und $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Schritt 5.8.2

Berechne $- 3 x$ bei $3$ und $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.8.3

Vereinfache.

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Schritt 5.8.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.8.3.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.9

Vereinfache.

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Schritt 5.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.9.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.9.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.9.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 5.9.2

Subtrahiere $9$ von $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 6

Addiere die Flächen $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $3 \ln (\frac{3}{4})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 6.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 6.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 6.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 6.1.5

Vereinfache $3 \ln (\frac{3}{4})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Schritt 6.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Schritt 6.1.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Schritt 6.1.8

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Schritt 6.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Schritt 6.3

Multipliziere $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{27}{64}$ mit $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $27$ mit $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $64$ mit $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Schritt 6.4

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Schritt 7