Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$6 = 0$

Schritt 1.2.2

Da $6 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $4$ und $8$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

Schritt 3.4

Sei $u = 8 x - 1$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.4.1

Es sei $u = 8 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.4.1.1

Differenziere $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Schritt 3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 3.4.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 + 0$

Schritt 3.4.1.4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$8$

Schritt 3.4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 8 x - 1$ ein.

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

Schritt 3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

Schritt 3.4.3.2

Subtrahiere $1$ von $32$ .

$u_{lower} = 31$

Schritt 3.4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 8 x - 1$ ein.

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

Schritt 3.4.5

Vereinfache.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

Schritt 3.4.5.2

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$u_{upper} = 63$

Schritt 3.4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

Schritt 3.4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Schritt 3.5.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

Schritt 3.6

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

Schritt 3.9

Berechne $\ln (| u |)$ bei $63$ und $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

Schritt 3.10.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $63$ ist $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

Schritt 3.11.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $31$ ist $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

Schritt 4

Addiere die Flächen $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache $3 \ln (\frac{63}{31})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{63}{31}$ an.

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $63$ mit $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $31$ mit $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ um.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

Schritt 4.4

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{250047}{29791}$ an.

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

Schritt 5