Analysis Beispiele

$x = 4 t - 1$ , $y = 2 t^{2} + 3 t - 4$

Schritt 1

Stelle die Parameterform für $x (t)$ auf, um die Gleichung nach $t$ aufzulösen.

$x = 4 t - 1$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $4 t - 1 = x$ um.

$4 t - 1 = x$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 t = x + 1$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 t = x + 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 t = x + 1$ durch $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Ersetze $t$ in der Gleichung durch $y$ , um die Gleichung bezogen auf $x$ zu erhalten.

$y = 2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6

Vereinfache $2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$ .

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe ${(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2}$ als $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ um.

$y = 2 ((\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 (\frac{x}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.1.1

Multipliziere $\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Schritt 6.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 2 (\frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.2

Multipliziere $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.3

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Schritt 6.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4 \cdot 4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $\frac{x}{16}$ und $\frac{x}{16}$ .

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 (8)} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 2 \frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6

Vereinfache.

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Schritt 6.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 (8)} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 (4)} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 (8)} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 \frac{x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.8

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

Schritt 6.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} - 4$

Schritt 6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{x + 3 x + 3}{4}$

Schritt 6.2.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.3

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 32 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.6.2

Addiere $- 32$ und $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

Schritt 6.8

Um $\frac{4 x + 3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 x + 3}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{8}$

Schritt 6.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.9.1

Mutltipliziere $\frac{4 x + 3}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{31}{8}$

Schritt 6.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Schritt 6.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

Schritt 6.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2 - 31}{8}$

Schritt 6.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x^{2} + 4 x \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Schritt 6.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

Schritt 6.11.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 6 - 31}{8}$

Schritt 6.12

Subtrahiere $31$ von $6$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x - 25}{8}$