Analysis Beispiele

$0 = a x^{2} + b x + c$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (a x^{2} + b x + c)$

Schritt 2

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = a$ und $g (x) = x^{2}$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [a]$ als $a'$ um.

$a (2 x) + x^{2} a' + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 a x + x^{2} a' + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + x^{2} a' + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 a x + x^{2} a' + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$2 a x + x^{2} a' + b + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 3.4

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 a x + x^{2} a' + b + 0$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $2 a x + x^{2} a' + b$ und $0$ .

$2 a x + x^{2} a' + b$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$b + 2 a x + x^{2} a'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = b + 2 a x + x^{2} a'$

Schritt 5

Löse nach $a'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $b + 2 a x + x^{2} a' = 0$ um.

$b + 2 a x + x^{2} a' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $a'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 a x + x^{2} a' = - b$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 a x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} a' = - b - 2 a x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} a' = - b - 2 a x$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} a' = - b - 2 a x$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} a'}{x^{2}} = \frac{- b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} a'}{x^{2}} = \frac{- b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $a'$ durch $1$ .

$a' = \frac{- b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{- 2 a x}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 a x$ heraus.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{x (- 2 a)}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{x (- 2 a)}{x \cdot x}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{x (- 2 a)}{x \cdot x}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} + \frac{- 2 a}{x}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a' = - \frac{b}{x^{2}} - \frac{2 a}{x}$

Schritt 6

Ersetze $a'$ durch $\frac{d a}{d x}$ .

$\frac{d a}{d x} = - \frac{b}{x^{2}} - \frac{2 a}{x}$