Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 20 e^{x}}{0.5 f (x) - 10}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - 20 e^{x}}{lim_{x \to 0} 0.5 f (x) - 10}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - lim_{x \to 0} 20 e^{x}}{lim_{x \to 0} 0.5 f (x) - 10}$

Schritt 3

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - 20 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 0.5 f (x) - 10}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - 20 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 0.5 f (x) - 10}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - 20 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 0.5 f (x) - lim_{x \to 0} 10}$

Schritt 6

Ziehe den Term $0.5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - 20 e^{lim_{x \to 0} x}}{0.5 lim_{x \to 0} f (x) - lim_{x \to 0} 10}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} f (x) - 20 e^{lim_{x \to 0} x}}{0.5 lim_{x \to 0} f (x) - 1 \cdot 10}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $f (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{f (0) - 20 e^{lim_{x \to 0} x}}{0.5 lim_{x \to 0} f (x) - 1 \cdot 10}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{f (0) - 20 e^{0}}{0.5 lim_{x \to 0} f (x) - 1 \cdot 10}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $f (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{f (0) - 20 e^{0}}{0.5 f (0) - 1 \cdot 10}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{f (0) - 20 \cdot 1}{0.5 f (0) - 1 \cdot 10}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$\frac{f (0) - 20}{0.5 f (0) - 1 \cdot 10}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{f (0) - 20}{0.5 f (0) - 10}$