Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

Schritt 1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.3.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Schritt 1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x + 5$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.8

Addiere $3$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x + 5}$ und $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (7 x + 3) + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)]$ .

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Schritt 3.11.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 7 x + 3$ .

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Schritt 3.11.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x + 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.1.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x + 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.6

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.7

Addiere $7$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.11.8

Kombiniere $\frac{1}{7 x + 3}$ und $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 3.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + 0}$

Schritt 3.13

Addiere $\frac{7}{7 x + 3}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{7 x + 3}{7}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{3 x + 5}$ mit $\frac{7 x + 3}{7}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (7 x + 3)}{(3 x + 5) \cdot 7}$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $\frac{3}{7}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 3}{3 x + 5}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $7$ durch $1$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{3 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Schritt 7.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Schritt 9.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 0}{3 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.1.2

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 5 \cdot 0}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 0}$

Schritt 11.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} \cdot 7$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} \cdot 7$

Schritt 11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$