Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}}$ als $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{7}{2 \ln (x)}})$ durch Herausziehen von $\frac{7}{2 \ln (x)}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{7}{2 \ln (x)}$ und $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{7 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $\frac{7}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Schritt 3.1.3

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{7}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1 + 2 x}$ mit $1$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.10

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Schritt 3.3.11

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{2}{2 x + 1}$ und $x$ .

$e^{\frac{7}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Schritt 5

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{7}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{7 \frac{1}{2 + 0}}$

Schritt 8.2

Addiere $2$ und $0$ .

$e^{7 (\frac{1}{2})}$

Schritt 8.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{7}{2}}$