Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Schritt 1

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Schritt 2

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Schritt 2.4

Da $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Schritt 4

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 4.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Schritt 4.1.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Schritt 4.1.1.3

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 4.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 4.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Schritt 4.1.3.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.6.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Schritt 4.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Schritt 4.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ $0$ .

$- 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 5

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$