Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{5 x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Schritt 3.9.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.9.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.9.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + 0}$

Schritt 3.11

Addiere $5 e^{5 x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{5 e^{5 x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (5 e^{5 x})}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (e^{5 x})}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} 5 x}}$

Schritt 13

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{5 ((0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0})}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Schritt 15.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) e^{0}}$

Schritt 15.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1 e^{0}}$

Schritt 15.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{5 e^{0}}$

Schritt 15.3.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{5}$