Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ ; $x = 3$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 1 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $x^{2} - 1$ und $0$ .

$x^{2} - 1$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = {(3)}^{2} - 1$

Schritt 3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 9 - 1$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$f' (3) = 8$