Analysis Beispiele

$y = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $y = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 6}^{6} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}^{2}$ als $(6 + x) (6 - x)$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ als ${((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = {({((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(6 + x) (6 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = 6 (6 - x) + x (6 - x)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$V = 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$V = 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x)$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x)$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x)$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - x^{2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$V = 36 + 0 - x^{2}$

Schritt 2.3.3

Addiere $36$ und $0$ .

$V = 36 - x^{2}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{- 6}^{6} 36 d x + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - \int_{- 6}^{6} x^{2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{6}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $36 x$ bei $6$ und $- 6$ .

$V = π ((36 \cdot 6) - 36 \cdot - 6 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $6$ und $- 6$ .

$V = π (36 \cdot 6 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $36$ mit $6$ .

$V = π (216 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 6$ .

$V = π (216 + 216 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $216$ und $216$ .

$V = π (432 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$V = π (432 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (432 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.6

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{- 216}{3}))$

Schritt 7.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 216$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 216$ heraus.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3}))$

Schritt 7.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}))$

Schritt 7.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (432 - (72 - \frac{- 72}{1}))$

Schritt 7.2.3.7.2.4

Dividiere $- 72$ durch $1$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 72$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Schritt 7.2.3.9

Addiere $72$ und $72$ .

$V = π (432 - 1 \cdot 144)$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$V = π (432 - 144)$

Schritt 7.2.3.11

Subtrahiere $144$ von $432$ .

$V = π \cdot 288$

Schritt 7.2.3.12

Bringe $288$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 288 π$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 288 π$

Dezimalform:

$V = 904.77868423 \dots$

Schritt 9