Analysis Beispiele

$\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$

Schritt 1

Da $\frac{π}{3}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π h^{2} (3 r - h)}{3}$ nach $h$ gleich $\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$ .

$\frac{π}{3} \frac{d}{d h} [h^{2} (3 r - h)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = h^{2}$ und $g (h) = 3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [3 r - h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 r - h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (\frac{d}{d h} [3 r] + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.2

Da $3 r$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $3 r$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (0 + \frac{d}{d h} [- h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [- h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \frac{d}{d h} [- h] + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- h$ nach $h$ gleich $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- \frac{d}{d h} [h]) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} (- 1 \cdot 1) + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{π}{3} (h^{2} \cdot - 1 + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $h^{2}$ .

$\frac{π}{3} (- 1 \cdot h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.6.3

Schreibe $- 1 h^{2}$ als $- h^{2}$ um.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) \frac{d}{d h} [h^{2}])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (3 r - h) (2 h))$

Schritt 3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 r - h$ .

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 \cdot (3 r - h) h)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + (2 (3 r) + 2 (- h)) h)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{π}{3} (- h^{2} + 2 (3 r) h + 2 (- h) h)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{π}{3} (- h^{2}) + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $\frac{π}{3}$ und $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (2 (3 r) h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{π}{3} (6 r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $6$ und $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 π}{3} (r h) + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.4

Kombiniere $r$ und $\frac{6 π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π)}{3} h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.5

Kombiniere $\frac{r (6 π)}{3}$ und $h$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{r (6 π) h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $r$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{6 \cdot r π h}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 4.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $6 r π h$ heraus.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 (1)} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{3 (2 r π h)}{3 \cdot 1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π h^{2}}{3} + \frac{2 r π h}{1} + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.7.2.4

Dividiere $2 r π h$ durch $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (2 (- h) h)$

Schritt 4.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h \cdot h)$

Schritt 4.4.9

Potenziere $h$ mit $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h))$

Schritt 4.4.10

Potenziere $h$ mit $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 (h^{1} h^{1}))$

Schritt 4.4.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{1 + 1})$

Schritt 4.4.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{π}{3} (- 2 h^{2})$

Schritt 4.4.13

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π}{3} h^{2}$

Schritt 4.4.14

Kombiniere $\frac{- 2 π}{3}$ und $h^{2}$ .

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h + \frac{- 2 π h^{2}}{3}$

Schritt 4.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{π h^{2}}{3} + 2 r π h - \frac{2 π h^{2}}{3}$

Schritt 4.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 r π h + \frac{- π h^{2} - 2 π h^{2}}{3}$

Schritt 4.4.17

Subtrahiere $2 π h^{2}$ von $- π h^{2}$ .

$2 r π h + \frac{- 3 π h^{2}}{3}$

Schritt 4.4.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.4.18.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 π h^{2}$ heraus.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3}$

Schritt 4.4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 (1)}$

Schritt 4.4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 r π h + \frac{3 (- π h^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 r π h + \frac{- π h^{2}}{1}$

Schritt 4.4.18.2.4

Dividiere $- π h^{2}$ durch $1$ .

$2 r π h - π h^{2}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$2 π h r - π h^{2}$