Analysis Beispiele

$f (x) = x - x^{- 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{- 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{- 1}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$1 + x^{- 2}$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{- 2} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Schritt 2.4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 2.4.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.5

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - x^{2}$

Schritt 2.6

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = 1$ um.

$- x^{2} = 1$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.6.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.6.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.6.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.6.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 4

Setze die Basis in $x^{- 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = x^{- 2} + 1$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = x - x^{- 1}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 1 + 1$

Schritt 7.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (1) = 2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Schritt 9