Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x))$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 8 \sec (x) \sec (x) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $8 \sec (x) \sec (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int 8 (\sec^{1} (x) \sec (x)) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\int 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Schritt 3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 8 {\sec (x)}^{1 + 1} + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 8 \sec^{2} (x) + 8 \sec (x) (- 4 \tan (x)) d x$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\int 8 \sec^{2} (x) - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 8 \sec^{2} (x) d x + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$8 (\tan (x) + C) + \int - 32 \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 7

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 32$ aus dem Integral.

$8 (\tan (x) + C) - 32 \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$8 (\tan (x) + C) - 32 (\sec (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$8 \tan (x) - 32 \sec (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 8 \sec (x) (\sec (x) - 4 \tan (x))$ .

$F (x) =$ $8 \tan (x) - 32 \sec (x) + C$