Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[5]{39 x^{7}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt[5]{39 x^{7}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $39 x^{7}$ als $x^{5} \cdot (39 x^{2})$ um.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus.

$\int \sqrt[5]{39 (x^{5} x^{2})} d x$

Schritt 3.1.2

Stelle $39$ und $x^{5}$ um.

$\int \sqrt[5]{x^{5} \cdot 39 x^{2}} d x$

Schritt 3.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\int \sqrt[5]{x^{5} \cdot (39 x^{2})} d x$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int x \sqrt[5]{39 x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 39 x^{2}$ . Dann ist $d u = 78 x d x$ , folglich $\frac{1}{78} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 39 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $39 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [39 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $39$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $39 x^{2}$ nach $x$ gleich $39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$39 (2 x)$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $39$ .

$78 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt[5]{u} \frac{1}{78} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sqrt[5]{u}$ und $\frac{1}{78}$ .

$\int \frac{\sqrt[5]{u}}{78} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{78}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{78}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{78} \int \sqrt[5]{u} d u$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{u}$ als $u^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{78} \int u^{\frac{1}{5}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{5}}$ nach $u$ gleich $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{1}{78} (\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}} + C)$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{1}{78} (\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}} + C)$ als $\frac{1}{78} \cdot \frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}} + C$ um.

$\frac{1}{78} \cdot \frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{78}$ mit $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{78 \cdot 6} u^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $78$ mit $6$ .

$\frac{5}{468} u^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $39 x^{2}$ .

$\frac{5}{468} {(39 x^{2})}^{\frac{6}{5}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt[5]{39 x^{7}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{468} {(39 x^{2})}^{\frac{6}{5}} + C$