Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 5

Multipliziere $(2 x^{3} - 3 x^{2} + 1) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (2 x^{3} - 3 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{3 - 2} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int 2 x^{1} - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$\int 2 x - 3 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x - 3 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int 2 x - 3 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 2 x - 3 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\int 2 x - 3 + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\int 2 x - 3 + x^{- 2} d x$

Schritt 5.11

Bewege $- 3$ .

$\int 2 x + x^{- 2} - 3 d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 3 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 3 d x$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 3 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 3 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$x^{2} - \frac{1}{x} - 3 x + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} - \frac{1}{x} - 3 x + C$