Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 3]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Schritt 3.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Schritt 3.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(0, 3)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(0, 3)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(0, 3)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(0, 3)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[0, 3]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 3)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 3]$ und differenzierbar im Intervall $(0, 3)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[0, 3]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

Schritt 7.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[0, 3]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

Schritt 8.2.2

Addiere $27$ und $45$ .

$f (3) = 72$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $72$ .

$72$

Schritt 9

Löse $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

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Schritt 9.1

Vereinfache $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

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Schritt 9.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

Schritt 9.1.1.2

Addiere $72$ und $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

Schritt 9.1.3

Dividiere $72$ durch $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

Schritt 9.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Schritt 9.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 10$ und $c = - 24$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5

Vereinfache.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

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Schritt 9.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.1.3

Addiere $100$ und $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.1.4

Schreibe $388$ als $2^{2} \cdot 97$ um.

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Schritt 9.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $388$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Schritt 9.5.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

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Schritt 9.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.1.3

Addiere $100$ und $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.1.4

Schreibe $388$ als $2^{2} \cdot 97$ um.

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Schritt 9.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $388$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Schritt 9.6.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.6.5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{97}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

Schritt 9.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

Schritt 9.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.7.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

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Schritt 9.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.1.3

Addiere $100$ und $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.1.4

Schreibe $388$ als $2^{2} \cdot 97$ um.

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Schritt 9.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $388$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Schritt 9.7.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.7.5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{97}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

Schritt 9.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

Schritt 9.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Schritt 9.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 3$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 3$ verläuft

Schritt 11

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 3$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 0$ und $b = 3$ verläuft

Schritt 12