Analysis Beispiele

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Schritt 7.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Schritt 7.3.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Schritt 7.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Schritt 8.2

Schreibe $\frac{π + π}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.2.1

Addiere $π$ und $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 π}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Schritt 8.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Schritt 8.2.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Schritt 10