Analysis Beispiele

$7 \sqrt{x} e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $7 \sqrt{x} e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 2.1.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 2.1.1.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 2.1.1.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.1.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 2.1.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 2.1.1.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 2.1.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 2.1.1.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.1.1.11

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 2.1.1.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2.1.1.13

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.1.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.13.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.13.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 7 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.13

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.16

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.2.17

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.9

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.16

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $e^{- x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.17

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.18

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.3.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.3.18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.3.18.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Schritt 2.1.2.3.19

Vereinfache.

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 2.1.2.3.20

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 7 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.4.3.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 7 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 7 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.6

Kombiniere $- 7$ und $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.8

Um $- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 2.1.2.4.3.9

Um $\frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1.2.4.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.6

Addiere $2$ und $1$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.7

Mutltipliziere $\frac{- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.8

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.4.3.10.8.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.8.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.2.4.3.10.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.10.8.5

Addiere $1$ und $2$ .

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.4

Stelle die Terme um.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 7 e^{- x} x + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.1.1.1

Bewege $e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 x e^{- x} + (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.1.1.2

Stelle $- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ um.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- 7 x e^{- x}$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.2

Subtrahiere $7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ von $- 7 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.3

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.3.1

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $- 14 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.3.2

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $- \frac{7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 7 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.3.3

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 7 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (7 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 7 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.6

Um $2 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.7

Kombiniere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.9.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.3

Vereinfache $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.10

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.5.1.10.1

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.10.2

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $- 7$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.10.3

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{- x}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.11

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.4.5.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 7 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.12

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $4 x + 1$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 7 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.5.3

Multipliziere $- \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 2.1.2.4.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 2.1.2.4.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.6

Um $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.7

Kombiniere $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.9.1

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 7 (4 x + 1) e^{- x}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.4.9.1.1

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $7 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 7 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.1.2

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $- 7 (4 x + 1) e^{- x}$ heraus.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 7 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.1.3

Faktorisiere $7 e^{- x}$ aus $7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 7 e^{- x} (- (4 x + 1))$ heraus.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.4.9.2.1

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.2.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{7 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.9.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.2.4.9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.2.3.2.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.2.3.3

Setze $4 x^{2} - 4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $4 x^{2} - 4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Löse $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.3.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.3.3.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.3.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.3.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.3.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.3.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{7 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 7 \sqrt{x} e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = \frac{7 e^{- (1)} (4 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1)}{4 {(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Bringe $e^{- (1)}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{7 (4 {(1)}^{2} - 4 - 1)}{4 {(1)}^{\frac{3}{2}} e}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{7 (4 \cdot 1 - 4 - 1)}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{7 (4 - 4 - 1)}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Schritt 5.2.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f'' (1) = \frac{7 (0 - 1)}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f'' (1) = \frac{7 \cdot - 1}{4 \cdot (1^{\frac{3}{2}} e)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{7 \cdot - 1}{4 \cdot (1 e)}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{7 \cdot - 1}{4 e}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{- 7}{4 e}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (1) = - \frac{7}{4 e}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7}{4 e}$ .

$- \frac{7}{4 e}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ konkav, weil $f'' (1)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $4$ mit ${(4)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit ${(4)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4 {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{1 + 2} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $4$ mit ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{1 + \frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{2 + 3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $2$ und $3$ .

$f'' (4) = \frac{7 e^{- (4)} (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 6.2.3

Bringe $e^{- (4)}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = \frac{7 (4^{3} - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f'' (4) = \frac{7 (64 - 4 \cdot 4 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (4) = \frac{7 (64 - 16 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Schritt 6.2.4.3

Subtrahiere $16$ von $64$ .

$f'' (4) = \frac{7 (48 - 1)}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Schritt 6.2.4.4

Subtrahiere $1$ von $48$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{4^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}} e^{4}}$

Schritt 6.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{2^{2 (\frac{5}{2})} e^{4}}$

Schritt 6.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{2^{2 (\frac{5}{2})} e^{4}}$

Schritt 6.2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{2^{5} e^{4}}$

Schritt 6.2.5.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f'' (4) = \frac{7 \cdot 47}{32 e^{4}}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $7$ mit $47$ .

$f'' (4) = \frac{329}{32 e^{4}}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{329}{32 e^{4}}$ .

$\frac{329}{32 e^{4}}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $[0, \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8