Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} - x$ , $- 2 \leq x \leq 2$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $e^{x} - 1 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 1$

Schritt 1.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Schritt 1.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 1.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 1.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (1)$

Schritt 1.2.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $e^{x} - x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$e^{0} - (0)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - (0)$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$1$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 1)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$e^{- 2} - (- 2)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - (- 2)$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + 2$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$e^{2} - (2)$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{2} - 2$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, \frac{1}{e^{2}} + 2), (2, e^{2} - 2)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(2, e^{2} - 2)$

Absolutes Minimum: $(0, 1)$

Schritt 4