Analysis Beispiele

$y = - e^{x}$ ; $y = 0$ ; $- 2 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$- e^{x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $- e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.1.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} 0 d x - \int_{- 2}^{1} - e^{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 2$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 2}^{1} 0 - (- e^{x}) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $- e^{x}$ von $0$ .

$\int_{- 2}^{1} - (- e^{x}) d x$

Schritt 3.3

Multipliziere $- (- e^{x})$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 e^{x}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$e^{x}$

$\int_{- 2}^{1} e^{x} d x$

Schritt 3.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x}]_{- 2}^{1}$

Schritt 3.5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $- 2$ .

$(e^{1}) - e^{- 2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache.

$e - e^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 5