Analysis Beispiele

$y = e^{x}$ , $y = - 2 x^{2} - 7 x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$e^{x} = - 2 x^{2} - 7 x$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 3.49566195, - 0.13025761 + y = - 2 x^{2} - 7 x$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = - 3.49566195$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $- 3.49566195$ .

$y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$

Schritt 1.3.2

Setze $- 3.49566195$ für $x$ in $y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $- 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Potenziere $- 3.49566195$ mit $2$ .

$y = - 2 \cdot 12.21965251 - 7 \cdot - 3.49566195$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $12.21965251$ .

$y = - 24.43930503 - 7 \cdot - 3.49566195$

Schritt 1.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 3.49566195$ .

$y = - 24.43930503 + 24.46963369$

Schritt 1.3.2.2.2

Addiere $- 24.43930503$ und $24.46963369$ .

$y = 0.03032866$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 0.13025761$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 0.13025761$ .

$y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$

Schritt 1.4.2

Setze $- 0.13025761$ für $x$ in $y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache $- 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $- 0.13025761$ mit $2$ .

$y = - 2 \cdot 0.01696704 - 7 \cdot - 0.13025761$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.01696704$ .

$y = - 0.03393409 - 7 \cdot - 0.13025761$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 0.13025761$ .

$y = - 0.03393409 + 0.91180333$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $- 0.03393409$ und $0.91180333$ .

$y = 0.87786924$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 3.49566195, 0.03032866)$

$(- 0.13025761, 0.87786924)$

$(- 3.49566195, 0.03032866)$

$(- 0.13025761, 0.87786924)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x d x - \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} e^{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 3.49566195$ und $- 0.13025761$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x - (e^{x}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $e^{x}$ .

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x - e^{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} x^{2} d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.7

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 7$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} e^{x} d x$

Schritt 3.11

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Schritt 3.12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $- 0.13025761$ und $- 3.49566195$ .

$- 2 ((\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Schritt 3.12.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $- 0.13025761$ und $- 3.49566195$ .

$- 2 (\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Schritt 3.12.3

Berechne $e^{x}$ bei $- 0.13025761$ und $- 3.49566195$ .

$- 2 (\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4

Vereinfache.

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Schritt 3.12.4.1

Potenziere $- 0.13025761$ mit $3$ .

$- 2 (\frac{- 0.00221008}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.3

Potenziere $- 3.49566195$ mit $3$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - \frac{- 42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - - \frac{42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} + 1 (\frac{42.71577442}{3})) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.6

Mutltipliziere $\frac{42.71577442}{3}$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} + \frac{42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \frac{- 0.00221008 + 42.71577442}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.8

Addiere $- 0.00221008$ und $42.71577442$ .

$- 2 (\frac{42.71356433}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{42.71356433}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 42.71356433}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $42.71356433$ .

$\frac{- 85.42712867}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.12

Potenziere $- 0.13025761$ mit $2$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{0.01696704}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.13

Potenziere $- 3.49566195$ mit $2$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{0.01696704}{2} - \frac{12.21965251}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 \frac{0.01696704 - 12.21965251}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.15

Subtrahiere $12.21965251$ von $0.01696704$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{- 12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (- \frac{12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + 7 (\frac{12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.18

Kombiniere $7$ und $\frac{12.20268546}{2}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + \frac{7 \cdot 12.20268546}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.19

Mutltipliziere $7$ mit $12.20268546$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + \frac{85.41879828}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.20

Um $- \frac{85.42712867}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{85.41879828}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.21

Um $\frac{85.41879828}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.22

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.12.4.22.1

Mutltipliziere $\frac{85.42712867}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.22.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.22.3

Mutltipliziere $\frac{85.41879828}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828 \cdot 3}{2 \cdot 3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.22.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 85.42712867 \cdot 2 + 85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.24

Mutltipliziere $- 85.42712867$ mit $2$ .

$\frac{- 170.85425735 + 85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.25

Mutltipliziere $85.41879828$ mit $3$ .

$\frac{- 170.85425735 + 256.25639484}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.26

Addiere $- 170.85425735$ und $256.25639484$ .

$\frac{85.40213748}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Schritt 3.12.4.27

Um $- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{85.40213748}{6} - (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 3.12.4.28

Kombiniere $- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{85.40213748}{6} + \frac{- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot 6}{6}$

Schritt 3.12.4.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{85.40213748 - (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot 6}{6}$

Schritt 3.12.4.30

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})}{6}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (\frac{1}{e^{0.13025761}} - e^{- 3.49566195})}{6}$

Schritt 3.13.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (\frac{1}{e^{0.13025761}} - \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Schritt 3.13.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{85.40213748 - 6 \frac{1}{e^{0.13025761}} - 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Schritt 3.13.1.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{e^{0.13025761}}$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} - 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Schritt 3.13.1.4

Multipliziere $- 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})$ .

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Schritt 3.13.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} + 6 \frac{1}{e^{3.49566195}}}{6}$

Schritt 3.13.1.4.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{e^{3.49566195}}$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Schritt 3.13.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{85.40213748 - \frac{6}{e^{0.13025761}} + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Schritt 3.13.1.6

Subtrahiere $\frac{6}{e^{0.13025761}}$ von $85.40213748$ .

$\frac{80.13492201 + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Schritt 3.13.1.7

Addiere $80.13492201$ und $\frac{6}{e^{3.49566195}}$ .

$\frac{80.316894}{6}$

Schritt 3.13.2

Dividiere $80.316894$ durch $6$ .

$13.386149$

Schritt 4