Analysis Beispiele

${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{5}$ gilt $n = 5$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $6$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $\frac{1}{x}$ und $b$ $- \sqrt{x}$ in den Ausdruck ein.

$1 {(\frac{1}{x})}^{5} {(- \sqrt{x})}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(\frac{1}{x})}^{5}$ mit $1$ .

${(\frac{1}{x})}^{5} {(- \sqrt{x})}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1^{5}}{x^{5}} {(- \sqrt{x})}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{x^{5}} {(- \sqrt{x})}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} ({(- 1)}^{0} {\sqrt{x}}^{0}) + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 1)}^{0} \frac{1}{x^{5}} {\sqrt{x}}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \frac{1}{x^{5}} {\sqrt{x}}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} {\sqrt{x}}^{0} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} \cdot 1 + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} + 5 {(\frac{1}{x})}^{4} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} + 5 \frac{1^{4}}{x^{4}} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{x^{5}} + 5 \frac{1}{x^{4}} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.12

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{5}{x^{4}} {(- \sqrt{x})}^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.13

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{5}} + \frac{5}{x^{4}} (- \sqrt{x}) + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5}{x^{4}} \sqrt{x} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.15

Kombiniere $\sqrt{x}$ und $\frac{5}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{\sqrt{x} \cdot 5}{x^{4}} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.16

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \cdot \sqrt{x}}{x^{4}} + 10 {(\frac{1}{x})}^{3} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.17

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + 10 \frac{1^{3}}{x^{3}} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + 10 \frac{1}{x^{3}} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.19

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} {(- \sqrt{x})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.20

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}) + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.21

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + {(- 1)}^{2} \frac{10}{x^{3}} {\sqrt{x}}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.22

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + 1 \frac{10}{x^{3}} {\sqrt{x}}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $\frac{10}{x^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} {\sqrt{x}}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.24

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.24.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.24.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.24.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} x^{\frac{2}{2}} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.24.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.24.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.24.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} x^{1} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.24.5

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{3}} x + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.25

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.25.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x \cdot x^{2}} x + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.25.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.25.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 10 {(\frac{1}{x})}^{2} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.26

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 10 \frac{1^{2}}{x^{2}} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.27

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + 10 \frac{1}{x^{2}} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.28

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}} {(- \sqrt{x})}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.29

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{10}{x^{2}} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{x}}^{3}) + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.30

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + {(- 1)}^{3} \frac{10}{x^{2}} {\sqrt{x}}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.31

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10}{x^{2}} {\sqrt{x}}^{3} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.32

Schreibe ${\sqrt{x}}^{3}$ als $\sqrt{x^{3}}$ um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10}{x^{2}} \sqrt{x^{3}} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.33

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10}{x^{2}} \sqrt{x^{2} x} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.34

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10}{x^{2}} (x \sqrt{x}) + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.35

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.35.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{- 10}{x^{2}} (x \sqrt{x}) + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.35.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{- 10}{x \cdot x} (x \sqrt{x}) + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.35.3

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt{x}$ heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{- 10}{x \cdot x} (x (\sqrt{x})) + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.35.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{- 10}{x \cdot x} (x \sqrt{x}) + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.35.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{- 10}{x} \sqrt{x} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.36

Kombiniere $\frac{- 10}{x}$ und $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} + \frac{- 10 \sqrt{x}}{x} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.37

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{(10) \sqrt{x}}{x} + 5 {(\frac{1}{x})}^{1} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.38

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 \frac{1}{x} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.39

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} {(- \sqrt{x})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.40

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} ({(- 1)}^{4} {\sqrt{x}}^{4}) + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.41

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + {(- 1)}^{4} \frac{5}{x} {\sqrt{x}}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.42

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 1 \frac{5}{x} {\sqrt{x}}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.43

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} {\sqrt{x}}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44

Schreibe ${\sqrt{x}}^{4}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 4.44.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{\frac{4}{2}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.44.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.44.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{\frac{2}{1}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.44.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} x^{2} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.45

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.45.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} (x \cdot x) + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.45.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + \frac{5}{x} (x \cdot x) + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.45.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.46

Mutltipliziere ${(\frac{1}{x})}^{0}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + {(\frac{1}{x})}^{0} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.47

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + \frac{1^{0}}{x^{0}} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.48

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + \frac{1}{x^{0}} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.49

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + \frac{1}{1} {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.50

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + 1 {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.51

Mutltipliziere ${(- \sqrt{x})}^{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + {(- \sqrt{x})}^{5}$

Schritt 4.52

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x}$ an.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x + {(- 1)}^{5} {\sqrt{x}}^{5}$

Schritt 4.53

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x - {\sqrt{x}}^{5}$

Schritt 4.54

Schreibe ${\sqrt{x}}^{5}$ als $\sqrt{x^{5}}$ um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x - \sqrt{x^{5}}$

Schritt 4.55

Schreibe $x^{5}$ als ${(x^{2})}^{2} x$ um.

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Schritt 4.55.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x - \sqrt{x^{4} x}$

Schritt 4.55.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x - \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}$

Schritt 4.56

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{x^{5}} - \frac{5 \sqrt{x}}{x^{4}} + \frac{10}{x^{2}} - \frac{10 \sqrt{x}}{x} + 5 x - x^{2} \sqrt{x}$