Analysis Beispiele

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.1.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 1.1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.1.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.1.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.1.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.1.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Schritt 1.1.1.4.6

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.4.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Schritt 1.1.1.4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Schritt 1.1.1.4.6.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.1.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Schritt 1.1.1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.5.4.1

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2}}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.2

Kombiniere $- 14$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.2.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{14}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Schritt 1.1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 1.1.2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Schritt 1.1.2.4.3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Schritt 1.1.2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 1.1.2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 1.1.2.4.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 1.1.2.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 1.1.2.4.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.4.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 1.1.2.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 1.1.2.4.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 1.1.2.4.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Schritt 1.1.2.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Schritt 1.1.2.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Kombiniere $42$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Schritt 1.2.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.2.2.6

Die Teiler von $x^{3}$ sind $x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 1.2.2.7

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 1.2.2.8

Die Teiler von $x^{5}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $5$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $5$ -mal auf.

Schritt 1.2.2.9

Das kgV von $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 1.2.2.10

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 1.2.2.10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.10.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.10.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.10.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.10.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Schritt 1.2.2.10.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.10.4.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.10.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Schritt 1.2.2.10.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4 + 1}$

Schritt 1.2.2.10.4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x^{5}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ mit $x^{5}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ mit $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 42 x + 12$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $42 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Schritt 1.2.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (21 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Schritt 1.2.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ heraus.

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 21 x + 6$ durch $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Schritt 1.2.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 21$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.5.1.1

Potenziere $21$ mit $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.6.1.1

Potenziere $21$ mit $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.6.1.3

Subtrahiere $24$ von $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.6.4

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{417}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Schritt 1.2.4.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Schritt 1.2.4.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.7.1.1

Potenziere $21$ mit $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 1.2.4.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.7.1.3

Subtrahiere $24$ von $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.7.4

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{417}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Schritt 1.2.4.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Schritt 1.2.4.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Schritt 1.2.4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.2

Setze den Nenner in $\frac{7}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.5.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 23$ mit $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 23$ mit $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 23$ mit $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{- 12167}$ mit $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{- 12167}$ mit $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{42}{279841}$ mit $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Schritt 4.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{42}{279841}$ mit $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Schritt 4.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{12}{- 6436343}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{12}{- 6436343}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.10

Mutltipliziere $- 12167$ mit $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.11

Stelle die Faktoren von $279841 \cdot 23$ um.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.12

Mutltipliziere $23$ mit $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.1.13

Mutltipliziere $- 6436343$ mit $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Schritt 4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $42$ mit $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 1058$ und $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ konkav, weil $f'' (- 23)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{- 27}$ mit $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{- 27}$ mit $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{42}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Schritt 5.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{42}{81}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{12}{- 243}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{12}{- 243}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.1.10

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.1.11

Stelle die Faktoren von $81 \cdot 3$ um.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.1.12

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.1.13

Mutltipliziere $- 243$ mit $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $42$ mit $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 18$ und $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $243$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $96$ heraus.

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $243$ heraus.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Schritt 5.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Schritt 5.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ konvex, weil $f'' (- 3)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.14$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.14$ mit $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $2$ durch $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.14$ mit $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Schritt 6.2.1.4

Dividiere $42$ durch $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $- 0.14$ mit $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Schritt 6.2.1.6

Dividiere $12$ durch $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 728.86297376$ und $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $223121.31849824$ von $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ konkav, weil $f'' (- 0.14)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{8}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2}{8}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{42}{16}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{42}{16}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.8

Stelle die Faktoren von $8 \cdot 4$ um.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.10

Stelle die Faktoren von $16 \cdot 2$ um.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $42$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Addiere $8$ und $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Schritt 7.2.4.2

Addiere $92$ und $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $104$ und $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.1

Faktorisiere $8$ aus $104$ heraus.

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Schritt 7.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Schritt 7.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Schritt 7.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9