Analysis Beispiele

${(6 (\cos (60 °) + i \sin (60 °)))}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Der genau Wert von $\cos (60 °)$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \sin (60 °)))}^{3}$

Schritt 1.1.2

Der genau Wert von $\sin (60 °)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(6 (\frac{1}{2}) + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

${(2 (3) \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(3 + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

${(3 + 2 (3) \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 + 2 \cdot 3 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(3 + 3 (i \sqrt{3}))}^{3}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 + 3^{1 + 2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$27 + 3^{3} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $3^{3}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1

Bewege $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{3}$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 + 3^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$27 + 3^{4} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$27 + 81 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.6.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sqrt{3}$ an.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 ({(3 i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.6.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (3^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{1}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.11

Multipliziere $9 (- 9 \cdot 3)$ .

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Schritt 3.1.11.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 \cdot - 27 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.11.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Schritt 3.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.12.1

Wende die Produktregel auf $3 i \sqrt{3}$ an.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.12.2

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 3^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.13

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.14

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.15

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.16

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- i) {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i {\sqrt{3}}^{3}$

Schritt 3.1.18

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{3}}$

Schritt 3.1.19

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{27}$

Schritt 3.1.20

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.20.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{9 (3)}$

Schritt 3.1.20.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 3.1.21

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i (3 \sqrt{3})$

Schritt 3.1.22

Mutltipliziere $3$ mit $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 81 i \sqrt{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $243$ von $27$ .

$81 i \sqrt{3} - 216 - 81 i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $81 i \sqrt{3}$ von $81 i \sqrt{3}$ .

$0 - 216$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $216$ von $0$ .

$- 216$