Analysis Beispiele

$x^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = y^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $y^{- \frac{1}{3}} = x$ um.

$y^{- \frac{1}{3}} = x$

Schritt 2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- 3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = x^{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = x^{- 3}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = x^{- 3}$

Schritt 2.3.1.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{- 1 \cdot - 1} = x^{- 3}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{1} = x^{- 3}$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = x^{- 3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{{(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- \frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = 1 x$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{1}{x^{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(\frac{1}{x^{3}})}^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$