Analysis Beispiele

$y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

Schritt 1

Schreibe $y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ als Funktion.

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{3} (x)$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Schritt 2.1.2.1.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$1 + \frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 5$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Schritt 2.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 2.1.2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + 0)$

Schritt 2.1.2.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x)$

Schritt 2.1.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ .

$1 + \frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)} x$

Schritt 2.1.2.7

Kombiniere $\frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ und $x$ .

$1 + \frac{2 x}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Schritt 2.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.3.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)} + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Schritt 2.1.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3) + 2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Schritt 2.1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ und $g (x) = x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)] - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Da $\ln (3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} \ln (3)$ nach $x$ gleich $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.8

Da $5 \ln (3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \ln (3)$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + 0) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.9

Addiere $2 \ln (3) x + 2$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.11

Da $\ln (3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} \ln (3)$ nach $x$ gleich $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.14

Da $5 \ln (3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \ln (3)$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 0)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.15.1

Addiere $2 \ln (3) x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.2.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) + (- 2 (x^{2} \ln (3)) - 2 (2 x) - 2 (5 \ln (3))) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.3.1.1.1

Vereinfache $5 \ln (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (3^{5})) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.1.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.3.1.2.1

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (3^{2}) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.3.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x + 2) + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.3.1.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.3.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.2

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3^{2}) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.4

Multipliziere $\ln (243) \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.4.4.1

Stelle $\ln (243)$ und $2$ um.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + 2 \cdot \ln (243) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.4.2

Vereinfache $2 \cdot \ln (243)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (243^{2}) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.4.5

Potenziere $243$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x \cdot x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1} x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1 + 2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{3} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.6

Vereinfache $- 2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (3^{2})) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.3.1.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 (x \cdot x)) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x^{2}) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 4 x^{2} \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.10

Vereinfache $- 4 \ln (3)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (3^{4})) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.11

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.12

Vereinfache $5 \ln (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (3^{5}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.13

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (243) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.14

Vereinfache $- 2 \ln (243)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (243^{2}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.1.15

Potenziere $243$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ .

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ und $x^{3} (- \ln (9)) \ln (3)$ neu an.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Subtrahiere $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ von $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + 0 + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.2.3

Addiere $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049)$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3.3

Stelle die Faktoren in $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ um.

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) + \ln (59049) - x^{2} \ln (81) - x \ln (59049) \ln (3)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bewege $x \ln (243) \ln (9)$ .

$x^{2} \ln (9) - x^{2} \ln (81) + x \ln (243) \ln (9) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

Schritt 3.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.3

Setze die Werte $a = \ln (9) - \ln (81)$ , $b = \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)$ und $c = \ln (59049)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049))}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.2

Multipliziere $- (- \ln (3) \ln (59049))$ .

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Schritt 3.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.2.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.3

Schreibe ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ als $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ um.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.4

Multipliziere $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.5.1.1

Multipliziere $\ln (243)$ mit $\ln (243)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.5.1.1.1

Bewege $\ln (243)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (243)$ mit $\ln (243)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.2

Multipliziere $\ln (9)$ mit $\ln (9)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.5.1.2.1

Bewege $\ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) (\ln (9) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (9)$ mit $\ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.4

Multipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.5.1.4.1

Bewege $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.4.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.5

Multipliziere $\ln (59049)$ mit $\ln (59049)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.5.1.5.1

Bewege $\ln (59049)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) (\ln (59049) \ln (59049)) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $\ln (59049)$ mit $\ln (59049)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.6

Multipliziere $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.4.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + 1 \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.1.6.2

Mutltipliziere $\ln^{2} (3)$ mit $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.2

Bewege $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) - 1 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.5.3

Subtrahiere $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ von $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) - 4 (- \ln (81))) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) + 4 \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (243) \ln (9)$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3) \ln (59049)$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.7

Schreibe $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ als $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.1.2

Multipliziere $- (- \ln (3) \ln (59049))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.1.3

Schreibe ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ als $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ um.

Schritt 3.3.6.1.4

Multipliziere $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.3.6.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.3.6.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.3.6.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1.1

Multipliziere $\ln (243)$ mit $\ln (243)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1.1.1

Bewege $\ln (243)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (243)$ mit $\ln (243)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.2

Multipliziere $\ln (9)$ mit $\ln (9)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1.2.1

Bewege $\ln (9)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (9)$ mit $\ln (9)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

Schritt 3.3.6.1.5.1.4

Multipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1.4.1

Bewege $\ln (3)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $\ln (3)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.5

Multipliziere $\ln (59049)$ mit $\ln (59049)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1.5.1

Bewege $\ln (59049)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.5.2

Mutltipliziere $\ln (59049)$ mit $\ln (59049)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.6

Multipliziere $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

Schritt 3.3.6.1.5.1.6.2

Mutltipliziere $\ln^{2} (3)$ mit $1$ .

Schritt 3.3.6.1.5.2

Bewege $\ln (3)$ .

Schritt 3.3.6.1.5.3

Subtrahiere $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ von $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ .

Schritt 3.3.6.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.3.6.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

Schritt 3.3.6.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 3.3.6.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (243) \ln (9)$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (3) \ln (59049)$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ heraus.

Schritt 3.3.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.8

Schreibe $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ als $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.6.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}, - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $- 2.23606797$ in $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.23606797$ .

$f (- 2.23606797) = (- 2.23606797) + \log_{3} ({(- 2.23606797)}^{2} + 5)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $- 2.23606797$ mit $2$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $5$ und $5$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (10)$

Schritt 4.1.2.1.3

Die logarithmische Basis $3$ von $10$ ist ungefähr $2.09590327$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + 2.09590327$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $- 2.23606797$ und $2.09590327$ .

$f (- 2.23606797) = - 0.1401647$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.1401647$ .

$- 0.1401647$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2.23606797$ in $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ ermittelt werden kann, ist $(- 2.23606797, - 0.1401647)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2.23606797, - 0.1401647)$

Schritt 4.3

Ersetze $2.23606797$ in $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.23606797$ .

$f (2.23606797) = (2.23606797) + \log_{3} ({(2.23606797)}^{2} + 5)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $2.23606797$ mit $2$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

Schritt 4.3.2.1.2

Addiere $5$ und $5$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (10)$

Schritt 4.3.2.1.3

Die logarithmische Basis $3$ von $10$ ist ungefähr $2.09590327$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + 2.09590327$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $2.23606797$ und $2.09590327$ .

$f (2.23606797) = 4.33197125$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.33197125$ .

$4.33197125$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2.23606797$ in $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ ermittelt werden kann, ist $(2.23606797, 4.33197125)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2.23606797, 4.33197125)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2.23606797) \cup (- 2.23606797, 2.23606797) \cup (2.23606797, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2.23606797)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{{(- 2.33606797)}^{2} \ln (9) + (- 2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache $5.45721359 \ln (9)$ , indem du $5.45721359$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $9$ mit $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache $- 2.33606797 \ln (243)$ , indem du $2.33606797$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $243$ mit $2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6

Potenziere $- 2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $- 5.45721359$ mit $\ln (81)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.9

Vereinfache $2.33606797 \ln (3)$ , indem du $2.33606797$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.10

Potenziere $3$ mit $2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.11

Subtrahiere $23.98144767$ von $\ln (161252.03194789)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- \ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.12

Subtrahiere $11.99072383$ von $- \ln (374057.54800345) \ln (9)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 40.18587201 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.13

Addiere $- 40.18587201$ und $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.1.14

Addiere $- 11.99072383$ und $\ln (59049)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache $5.45721359 \ln (3)$ , indem du $5.45721359$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $3$ mit $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Vereinfache $5 \ln (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

Schritt 6.2.2.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

Schritt 6.2.2.7

Mutltipliziere $401.56199016$ mit $243$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Schritt 6.2.4

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

Schritt 6.2.5

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $97579.56361088$ ist ungefähr $11.48842336$ .

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

Schritt 6.2.6

Potenziere $11.48842336$ mit $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

Schritt 6.2.7

Dividiere $1.00460094$ durch $131.98387132$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00761154$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 0.00761154$

Schritt 6.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 0.00761154$ .

$- 0.00761154$

Schritt 6.3

Bei $- 2.33606797$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00761154$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 2.23606797)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2.23606797)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2.23606797, 2.23606797)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} \ln (9) + (0) \ln (243) \ln (9) - {(0)}^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(0)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 \ln (9) + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (9)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (243)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (9)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (81)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (3)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (59049)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.11

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.12

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.1.13

Addiere $0$ und $\ln (59049)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (3)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache $5 \ln (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (243))}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Addiere $0$ und $\ln (243)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$ .

$\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

Schritt 7.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $0.36409569$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2.23606797, 2.23606797)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2.23606797, 2.23606797)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2.23606797, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{{(2.33606797)}^{2} \ln (9) + (2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(2.33606797)}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache $5.45721359 \ln (9)$ , indem du $5.45721359$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $9$ mit $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache $2.33606797 \ln (243)$ , indem du $2.33606797$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Potenziere $243$ mit $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Potenziere $2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Mutltipliziere $- 5.45721359$ mit $\ln (81)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Vereinfache $- 2.33606797 \ln (3)$ , indem du $2.33606797$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Potenziere $3$ mit $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.11

Subtrahiere $23.98144767$ von $\ln (161252.03194789)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.12

Subtrahiere $11.99072383$ von $\ln (374057.54800345) \ln (9)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{16.20442434 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.13

Subtrahiere $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ von $16.20442434$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.1.14

Addiere $- 11.99072383$ und $\ln (59049)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $2.33606797$ mit $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache $5.45721359 \ln (3)$ , indem du $5.45721359$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $3$ mit $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache $5 \ln (3)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

Schritt 8.2.2.7

Mutltipliziere $401.56199016$ mit $243$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Schritt 8.2.4

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

Schritt 8.2.5

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $97579.56361088$ ist ungefähr $11.48842336$ .

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

Schritt 8.2.6

Potenziere $11.48842336$ mit $2$ .

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

Schritt 8.2.7

Dividiere $1.00460094$ durch $131.98387132$ .

$f'' (2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00761154$ .

$f'' (2.33606797) = - 0.00761154$

Schritt 8.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 0.00761154$ .

$- 0.00761154$

Schritt 8.3

Bei $2.33606797$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00761154$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(2.23606797, \infty)$

Abfallend im Intervall $(2.23606797, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$ .

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

Schritt 10