Analysis Beispiele

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 {(x - 4)}^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{5}{3}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und ${(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.1.8

Kombiniere $\frac{5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ und $3$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{15 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.10

Faktorisiere $3$ aus $15 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.11.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 (5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{1} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.11.4

Dividiere $5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$f' (x) = 5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.1.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.14

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0)$

Schritt 1.1.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Schritt 1.1.15.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.7.3

Bringe ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))$

Schritt 1.2.7.4

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ und $5$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 5}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.2.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4)$

Schritt 1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.2.10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Schritt 1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 1.2.11.2

Mutltipliziere $\frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{10}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$10 = 0$

Schritt 2.3

Da $10 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte