Analysis Beispiele

$x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- 6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.5.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + 0$

Schritt 2.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 x - 2 y$ und $0$ .

$2 x - 2 y - 6 + 0 + 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2 x - 2 y - 6$ und $0$ .

$2 x - 2 y - 6 + 0$

Schritt 2.6.3

Addiere $2 x - 2 y - 6$ und $0$ .

$2 x - 2 y - 6$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2 y - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 2 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Schritt 3.3.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 2$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - 2 y - 6 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.3

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 + \frac{d}{d x} (- 6 y) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.5.1

Da $- 6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 5.1.5.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y + 0 - 6 + 0 + 0$

Schritt 5.1.6

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.6.1

Addiere $2 x - 2 y$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y - 6 + 0 + 0$

Schritt 5.1.6.2

Addiere $2 x - 2 y - 6$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y - 6 + 0$

Schritt 5.1.6.3

Addiere $2 x - 2 y - 6$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 y - 6$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 2 y - 6$ .

$2 x - 2 y - 6$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 2 y - 6 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 2 y - 6 = 0$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 6 = 2 y$

Schritt 6.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2 y + 6$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 y + 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 y + 6$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 y}{2} + \frac{6}{2}$

Schritt 6.3.3.1.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x = y + \frac{6}{2}$

Schritt 6.3.3.1.2

Dividiere $6$ durch $2$ .

$x = y + 3$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = y + 3$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = y + 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2$

Schritt 10

$x = y + 3$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = y + 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = y + 3$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $y + 3$ .

$f (y + 3) = {(y + 3)}^{2} - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Schreibe ${(y + 3)}^{2}$ als $(y + 3) (y + 3)$ um.

$f (y + 3) = (y + 3) (y + 3) - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.2

Multipliziere $(y + 3) (y + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (y + 3) = y (y + 3) + 3 (y + 3) - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (y + 3) = y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3) - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (y + 3) = y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 3 y + 3 y + 9 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.3.2

Addiere $3 y$ und $3 y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 (y + 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 + (- 2 y - 2 \cdot 3) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 + (- 2 y - 6) \cdot y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y \cdot y - 6 y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1.7.1

Bewege $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 (y \cdot y) - 6 y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 (y + 3) - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 y - 6 \cdot 3 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.1.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} + 6 y + 9 - 2 y^{2} - 6 y + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$ .

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Schritt 11.2.2.1.1

Subtrahiere $6 y$ von $6 y$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 9 - 2 y^{2} + 0 + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.2.1.2

Addiere $y^{2} + 9 - 2 y^{2}$ und $0$ .

$f (y + 3) = y^{2} + 9 - 2 y^{2} + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$f (y + 3) = - y^{2} + 9 + 4 y^{2} - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.2.3

Addiere $- y^{2}$ und $4 y^{2}$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} + 9 - 6 y - 18 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.2.4

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} - 6 y - 9 - 6 y + 8$

Schritt 11.2.2.5

Subtrahiere $6 y$ von $- 6 y$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} - 12 y - 9 + 8$

Schritt 11.2.2.6

Addiere $- 9$ und $8$ .

$f (y + 3) = 3 y^{2} - 12 y - 1$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $3 y^{2} - 12 y - 1$ .

$y = 3 y^{2} - 12 y - 1$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} - 6 x - 6 y + 8$ .

$(y + 3, 3 y^{2} - 12 y - 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13