Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{7} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{3}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{7} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3} {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2 {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.9

Bringe ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{7} (\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{3}{7}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.11

Multipliziere.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{6}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (2)}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 2.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 2.16

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Schritt 2.17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.17.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Schritt 2.17.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 2.17.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 2.17.4

Kombiniere $\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{4}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.9.3

Bringe ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.9.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.12

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.13.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.19

Um ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.20

Kombiniere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.22

Multipliziere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.22.1

Bewege ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.22.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.22.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.22.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 9)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.22.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 9) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.23

Vereinfache ${(x^{2} - 9)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 9) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.24

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.25

Schreibe $\frac{\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.26

Mutltipliziere $\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.27

Multipliziere ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.27.1

Bewege ${(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.27.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 3.27.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 3.27.4

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.28

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2})}{7 (3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 3.29

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 9) - 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30

Vereinfache.

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Schritt 3.30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 9 - 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 9) + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.30.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.30.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 9) + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.3.1.2

Multipliziere $4 (3 \cdot - 9)$ .

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Schritt 3.30.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 27 + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 108 + 4 (- 2 x^{2})}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 108 - 8 x^{2}}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.3.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 108}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 108$ heraus.

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Schritt 3.30.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 108}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 108$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 27}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.30.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot - 27$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 27)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Da $\frac{3}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.9

Bringe ${(x^{2} - 9)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{7} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{3}{7}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.11

Multipliziere.

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Schritt 5.1.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}} \cdot 7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.11.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (2)}{21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $21 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)$

Schritt 5.1.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 5.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Schritt 5.1.16

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 5.1.17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.17.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Schritt 5.1.17.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Schritt 5.1.17.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Schritt 5.1.17.4

Kombiniere $\frac{4}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{{(x^{2} - 9)}^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{x^{2} - 9}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{7 \sqrt[3]{x^{2} - 9}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 \sqrt[3]{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(7 \sqrt[3]{x^{2} - 9})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} - 9}$ als ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$7^{3} {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$343 {({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$343 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$343 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$343 {(x^{2} - 9)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$343 (x^{2} - 9) = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$343 x^{2} + 343 \cdot - 9 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $343$ mit $- 9$ .

$343 x^{2} - 3087 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$343 x^{2} - 3087 = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Addiere $3087$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$343 x^{2} = 3087$

Schritt 7.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $343 x^{2} = 3087$ durch $343$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $343 x^{2} = 3087$ durch $343$ .

$\frac{343 x^{2}}{343} = \frac{3087}{343}$

Schritt 7.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $343$ .

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Schritt 7.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{343 x^{2}}{343} = \frac{3087}{343}$

Schritt 7.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3087}{343}$

Schritt 7.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.2.3.1

Dividiere $3087$ durch $343$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 7.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 7.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 7.3.3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 7.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 7.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 7.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 7.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 3, 3$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 27)}{21 {({(0)}^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 (0 - 27)}{21 {(0^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $27$ von $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(0^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(0 - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$\frac{- 108}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 108$ heraus.

$\frac{3 (- 36)}{21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 36)}{3 (7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 (7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 10.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 36}{7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{36}{7 {(- 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {({(0)}^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {(0 - 9)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f (0) = \frac{3}{7} \cdot {(- 9)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und ${(- 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (0) = \frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$ .

$y = \frac{3 {(- 9)}^{\frac{2}{3}}}{7}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 {({(- 3)}^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 {(9 - 9)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0^{4}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{21 \cdot 0}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $21$ mit $0$ .

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{4 ({(- 3)}^{2} - 27)}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 6$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{4 (- 6)}{7 {({(- 6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 {({(- 6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 {(36 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 15.2.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 15.2.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.2.6

Berechne den Exponenten.

$f' (- 6) = \frac{- 24}{7 \cdot 3}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f' (- 6) = \frac{- 24}{21}$

Schritt 15.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $21$ .

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Schritt 15.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$f' (- 6) = \frac{3 (- 8)}{21}$

Schritt 15.2.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f' (- 6) = \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 7}$

Schritt 15.2.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 6) = \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 7}$

Schritt 15.2.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 6) = \frac{- 8}{7}$

Schritt 15.2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 6) = - \frac{8}{7}$

Schritt 15.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{7}$ .

$- \frac{8}{7}$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{7 {({(- 2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {({(- 2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {(4 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, 3)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (2)}{7 {({(2)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(2^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.4.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(4 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{7 {(- 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{4 x}{7 {(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = \frac{4 (6)}{7 {({(6)}^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 {(6^{2} - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.5.2.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 {(36 - 9)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $36$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 27^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5.2.2.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 15.5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.5.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 15.5.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3}$

Schritt 15.5.2.2.6

Berechne den Exponenten.

$f' (6) = \frac{24}{7 \cdot 3}$

Schritt 15.5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.5.2.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f' (6) = \frac{24}{21}$

Schritt 15.5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $21$ .

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Schritt 15.5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$f' (6) = \frac{3 (8)}{21}$

Schritt 15.5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f' (6) = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 7}$

Schritt 15.5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (6) = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 7}$

Schritt 15.5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (6) = \frac{8}{7}$

Schritt 15.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = - 3$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 3$ ein lokales Minimum.

$x = - 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.8

Da die erste Ableitung um $x = 3$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 3$ ein lokales Minimum.

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{3}{7} \cdot {(x^{2} - 9)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 3$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

$x = - 3$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 3$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16