Analysis Beispiele

$f (x) = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$ um.

$x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.3

Ersetze $x^{\frac{1}{3}}$ durch $u$ .

${(u)}^{3} - 9 u = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Entferne die Klammern.

$u^{3} - 9 u = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{3} - 9 u$ heraus.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{3}$ heraus.

$u \cdot u^{2} - 9 u = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- 9 u$ heraus.

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{2} + u \cdot - 9$ heraus.

$u (u^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u (u^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u$ und $b = 3$ .

$u ((u + 3) (u - 3)) = 0$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (u + 3) (u - 3) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.4

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 1.2.4.5

Setze $u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.5.1

Setze $u + 3$ gleich $0$ .

$u + 3 = 0$

Schritt 1.2.4.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 3$

Schritt 1.2.4.6

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.6.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 1.2.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u + 3) (u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = 0, - 3, 3$

Schritt 1.2.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0, - 3, 3$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = - 3$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 3)}^{3}$

Schritt 1.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$x = - 27$

Schritt 1.2.8

Löse nach $x^{\frac{1}{3}} = 3$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.8.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Schritt 1.2.8.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Schritt 1.2.8.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 3^{3}$

Schritt 1.2.8.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 3^{3}$

Schritt 1.2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.2.2.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = 27$

Schritt 1.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, - 27, 27$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $(0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = 0 - 9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{1}$

Schritt 2.2.3.1.4

Berechne den Exponenten.

$y = 0 - 9 \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4