Analysis Beispiele

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Schritt 1

Die Funktion $f' (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Schritt 3

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Schritt 5

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Schritt 7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Schritt 9.2.3.2.4

Dividiere $4 x^{2}$ durch $1$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Schritt 10

Die Funktion $f'$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Schritt 11

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Schritt 13

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Schritt 15

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Schritt 17

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Schritt 18

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Schritt 19

Wende die Konstantenregel an.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Vereinfache.

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Schritt 20.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Schritt 20.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Schritt 20.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Schritt 20.2

Vereinfache.

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Schritt 21

Stelle die Terme um.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Schritt 22

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$