Analysis Beispiele

$k^{2} (2 k + 3) + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 k^{2} k + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $k^{2}$ .

$2 k^{2} k + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1.4

Multipliziere $k^{2}$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $k$ .

$2 (k \cdot k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $k$ mit $k^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$2 (k^{1} k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 k^{1 + 2} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 k^{3} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Schritt 2

Vereinfache ${(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${(k + 1)}^{2}$ als $(k + 1) (k + 1)$ um.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k + 1) (k + 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(k + 1) (k + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k (k + 1) + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.3.2

Addiere $k$ und $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$

Schritt 2.4

Multipliziere $(k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $k^{2}$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.2.1

Bewege $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $k$ mit $k^{2}$ .

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Schritt 2.5.1.2.2.1

Potenziere $k$ mit $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 \cdot k^{2} + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.5

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.5.1

Bewege $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.5.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.8

Mutltipliziere $2 k$ mit $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 1 \cdot 5$

Schritt 2.5.1.9

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $5 k^{2}$ und $4 k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $10 k$ und $2 k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 12 k + 5$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $k$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 k^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} = 9 k^{2} + 12 k + 5$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9 k^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} = 12 k + 5$

Schritt 3.3

Subtrahiere $12 k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k$ .

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 k^{3}$ von $2 k^{3}$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 + 0 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.4.2

Addiere $3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1$ und $0$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1

Schreibe ${(k + 1)}^{2}$ als $(k + 1) (k + 1)$ um.

$3 k^{2} + 6 ((k + 1) (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $(k + 1) (k + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 k^{2} + 6 (k (k + 1) + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.3.1.2

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.3.1.3

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.3.2

Addiere $k$ und $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + 2 k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 (2 k) + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Schritt 3.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k$ .

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $12 k$ von $12 k$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} + 0 = 5$

Schritt 3.6.2

Addiere $3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ und $0$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Schritt 3.7

Addiere $3 k^{2}$ und $6 k^{2}$ .

$9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Schritt 3.8

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ .

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Schritt 3.8.1

Subtrahiere $9 k^{2}$ von $9 k^{2}$ .

$0 + 6 - 1 = 5$

Schritt 3.8.2

Addiere $0$ und $6$ .

$6 - 1 = 5$

Schritt 3.9

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$5 = 5$

Schritt 4

Da $5 = 5$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $k$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$