Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 10.2

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 10.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 \int x^{- 4} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 12.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{- 1}{x^{4}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{4}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 12.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

Schritt 12.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

Schritt 12.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - \frac{3}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} + C$