Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{5}{8}$ und $x^{\frac{8}{5}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 8.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 10.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 11

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \sin (x) d x + \int \ln (3) d x$

Schritt 15

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \int \ln (3) d x$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{8} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (- \cos (x) + C) + \ln (3) x + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache.

$\frac{5 x^{\frac{8}{5}}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Schritt 17.2

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$

Schritt 18

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 x^{\frac{3}{5}} - \frac{2}{x^{3}} + 6 x + 2 \sin (x) + \ln (3)$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} x^{\frac{8}{5}} + \frac{1}{x^{2}} + 3 x^{2} - 2 \cos (x) + \ln (3) x + C$