Analysis Beispiele

$y = \sin (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sin (x) = 0$

Schritt 1.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 1.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $π n$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = π n$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{3}} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $\frac{π}{3}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x$

Schritt 3.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.4.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (0)$

Schritt 3.4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} + 1$

Schritt 3.4.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 3.4.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4