Analysis Beispiele

$y = 5 e^{- x}$ ; $[0, 2]$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = 5 e^{- x}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 5 e^{- x} d x)$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Schritt 7

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 ((e^{- 2}) - e^{0}))$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1 \cdot 1))$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (\frac{1}{e^{2}} - 1))$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \frac{1}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

Schritt 12.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} + 5)$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Schritt 13.2

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 5$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{e^{2}}$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 5$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{5}{2}$

Schritt 15