Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[- 2, 2]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2} + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 1.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 1.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ bei $2$ und $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Schritt 7.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Schritt 7.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Schritt 7.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Schritt 7.2.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Schritt 7.3.2.2

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Schritt 7.3.2.3

Multipliziere $- - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 7.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Schritt 7.3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Schritt 7.3.4

Addiere $π$ und $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Schritt 7.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Schritt 7.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Schritt 7.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 7.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 7.3.7

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 7.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Schritt 8

Addiere $2$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Schritt 9

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Schritt 10