Analysis Beispiele

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${t | t \in ℝ}$

Schritt 2

$f (t)$ ist stetig im Intervall $[0, 7]$ .

$f (t)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

Schritt 5

Sei $u = - t^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 t d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 t)$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 t$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = - t^{2}$ ein.

$u_{lower} = - 0^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = - t^{2}$ ein.

$u_{upper} = - 7^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$u_{upper} = - 49$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 49$ und $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{49}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Schritt 11.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Schritt 11.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Schritt 12.2

Addiere $7$ und $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 14

Multipliziere $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 15

Multipliziere $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

Schritt 16