Analysis Beispiele

$f (x) = - \sin (x)$ , $[0, π]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, π]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} - \sin (x) d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- \cos (π) + \cos (0)))$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- \cos (π) + 1))$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (\cos (0) + 1))$

Schritt 7.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (1 + 1))$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- (1 + 1))$

Schritt 7.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 1 \cdot 2)$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 2)$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot - 2$

Schritt 8.2

Addiere $π$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Schritt 10